Senin, 24 Januari 2011

TRANSFORMASI LINIER

Definisi
Kita akan menggunakan termiologi baku berikut ini yang diambil dari aljabar dan kalkulus, untuk memahami fungsi dari V ke W.
V dinamakan daerah asal ( domain ) bagi T.
T (v) adalah Nilai (value) T di v atau bayangan (image) v dibawah T.
Daerah Hasil (range) T adalah himpunan R(T) = T (V)= {T(v)| v di dalam V } ≤ W
T bersifat satu – satu jika T(u) = T(v) berimplikasi u = v, atau jika u ≠ v berimplikasi T(u) ≠ T(v)
T bersifat keatas ( onto ) W jika R(T) = W
Contoh : Apakah fungsi T , dari R2 Ke R1x2 yang didefinisikan oleh
T[█(x@y)] = [ x – 2y 4x + 3y ] merupakan suatu transformasi linier ?
Dengan menempuh jalan :
u = [█(1@3)] dan v= [█( 2@-1)] dari R2 dan kemudian kita hitung
T( u ) = T[█(1@3)] = [ -5 13 ] , T(v) = T[█( 2@-1)] = [4 5 ]
T(2u) = T[█(2@6)] = [ -10 26 ] = 2T( u )
T( u + v ) = T[█(3@2)] = [ -1 18 ] = T( u ) + T (v )
Hasil perhitungan ini mengindikasikan , tetapi bukan membuktikan , bahwa T adalah suatu transformasi linier. Untuk membuktikan ini secara umum kita ambil sembarang vektor
u = [█(u_1@u_2 )] dan v= [█( v_1@v_2 )] dari dalam V dan kemudian kita hitung
T(ku + hv ) = T[■(〖ku〗_1&+ @〖ku〗_2&+ )■(〖 hv〗_1@〖hv〗_2 )]
= [(ku1 + hv1) – 2 (ku2 + hv2) 4(ku1 + hv1 ) + 3 (ku2 + hv2 )
Dan kT( u ) + hT( v ) = k[u1 - 2 u2 4 u1 + 3 u2 ] + h [v1 - 2 v2 4 v1 + 3 v2 ]
Karena kedua vektor ini sama berarti T adalah suatu transformasi linier.

Misalkann V dan W adalah ruang vector TRANSFORMASI LINIER dari V ke W ialah suatu fungsi T dari V ke W yang memenuhi sifat :
T(ku+hv) = kT(u) + hT(v)
Untuk semua u dan v didalam V dan semua bilangan nyata h dan k. setara dengan dua syarat :
T(u + v) = T(u) + T (v) dan T(ku) = kT(u)
Transformasi Linier dinamakan juga fungsi Linier (Linier function) atau pemetaan Linier ( Linier Mapping ). Dalam hal V = W ,transformasi linier sering kali dinamakan OPERATOR LINIER ( Linier operator ). Dalam hal W = R ( R himpunana bilangan nyata ), transformasi linier sering disebut Fungsional linier ( Linier Functional ).
Jika T adalah suatu transformasi dari V ke W , maka untuk semua vector v dan w didalam V dan semua scalar a¡ berlaku :
T (0) = 0;
T (-v) = -T (v);
T (v – w) = T ( v ) – T ( w );
T ( a1v1 + a2v2 +….+akvk ) = a1T ( v1 ) + a2T ( v2 ) +….+akT ( vk ) ;
T Bersifat satu – satu jika dan hanya jika T ( u ) = 0 berimplikasi u = 0
Jika B= { u1, u2, u3….un} adalah sebuah landasan bagi ruang vektor V dan w adalah sembarang vektor di dalam V , kita tahu bahwa kita dapat mengucapkan w sebagai kombinasi linier dari vektor – vektor landasan itu dengan cara memecahkan system linier
w = ∑_(i=1)^n▒〖a_i u_1 〗 = aiui + … + anun
jika T adalah suatu transformasi linier pada V , kita dapat menghitung T(w) dengan menggunakan rumus :
T(w) = ∑_(i=1)^n▒〖a_i T(u_(1 ) 〗) = aiT( ui )+ … + an T(un )

Teorema 1.1 : Transformasi Linier pada suatu ruang vektor berdimensi terhingga V ditentukan oleh nilai – nilai transformasi itu untuk vektor – vektor sembarangan landasan bagi V . lebih lanjut, jika B = {u1, u2, u3….un} adalah suatu landasan bagi V , maka
{T ( u1 ), T ( u2 ),….T ( un)} merupakan suatu himpunan perentang bagi daerah hasil transformasi T.
Contoh :
Misalkan T adalah suatu transformasi linier dari R3 ke R3 yang mempunyai :
T [█( 1@ 1@ 1) ] = [ █(2@3@5) ] , T[█(1@1@ 0 )]=[█( -2 @4@3)], T[█( 0 @1@1)]=[█(0@7@5)]
Gunakan teorema 1.1 untuk menghitung T[█( -1@3@6) ],
Tidak sukar untuk melihat bahwa vektor – vektor
{u1=[█(1@1@1)],u2=[█(1@1@0)],u3=[█(0@1@1)] }
Membentuk suatu landasan bagi R3 , jadi pasti ada scalar – sklar a, b, dan c sedemikian rupa sehingga :
W=[█(-1@3@6)]=a[█(1@1@1)]+b[█(1@1@0)]+c[█(0@1@1)] , = au1 + bu2 + cu3.
Skalar- skalar a, b, dan c harus memenuhi system linier :
[■(1&1&0@1&1&1@1&0&1)][█(a@b@c)]= [█(-1@3@6)]
Penyederhanaan baris:
[ ■(1@1@1)■( 1@ 1@ 0) ■( 0@1@1)■(-1@3@6) ]→[ ■(1@0@0)■( 1@ 0@-1)■( 0@ 1@ 1)■(-1@ 4@ 7) ]→[■(1 @0@0) ■(1@1@0)■(0@-1@1)■(-1@-7@4)]→[ ■(1@0@0)■( 1@ 0@ 0)■( 0 @1@0)■(0 @0@1)■(2@-3@4) ]
Menunjukan bahwa a = 2, b = -3 , c = 4 sehingga w = 2u1 – 3u2 +4u3 . sekarang kita dapat menghitung T ( w ) dengan memanfaatkan sifat kelinieran transformasi T :
T ( w ) = T(2u1 – 3u2 +4u3 )
= 2T ( u1) – 3T (u2 ) + 4T ( u3 )
=2[█(2@3@5)]-3[█(-2@4@3)]+4[█(0@7@5)]=[█(10@22@21)]




Daerah Hasil dan Ruang Nol Transformasi Linier
Transformasi linier T , dari Rⁿ ke Rm yang didefinisikan oleh perkalian dengan matriks A yang berukuran m x n, yaitu T ( u ) = Au. Transformasi jenis ini dinamakan TRANSFORMASI MATRIKS ( Matrix Transformations ) . Transformasi ini akan dijadikan penggugah motivasi untuk mempelajari transformasi linier . Pemecahan system linier :
AX = K atau T ( X ) = K
Dengan A sebagai matriks koefisiennya, dapat dipandang sebagai masalah pencarian semua vektor X di dalam Rn , yang bayangannya dibawah T adalah vektor K di dalam Rm .
Sekarang kita dapat menjelaskan secara tepat apa yang dimaksud bahwa suatu masalah itu adalah linier. Masalah Linier Umum dapat dikatakan sebagai berikut : Jika diketahui suatu transformasi linier T dari ruang vektor V ke ruang vektor W dan sebuah vektor tertentu w di dalam W, carilah sumua vektor u di dalam V sedemikian rupa sehingga
T( u ) = w

Aljabar Transformasi Linier
Misalkan S dan T adalah Transformasi linier dari V ke W . jumlah S + T adalah fungsi dari V ke W yang didefinisikan oleh :
( S + T ) ( u ) = S( u ) + T( u )
Dan perkalian scalar kT adalah fungsi yang didefinisikan oleh :
( kT ) ( u ) = k ( T( u ))
Tidak sukar untul melihat bahwa S + T dan kT adalah juga transformasi linier dari V ke W , untuk S + T , perhitungannya adalah sebagai berikut :
( S + T )(au + bv) = S (au + bv) + T (au + bv)
= { aS(u) + bS(v) } + { aT(u) + bT(v) }
= a { S(u) + T(v) } + b{ S(u) + T(v) }
= a ( S + T ) ( u ) + b ( S + T ) ( v )

Himpunan semua transformasi linier dari V ke W akan di lambangkan dengan L ( V, W ). Jika S dan T adalah matriks transformasi , dengan S(u) = Au dan T(u) = Bu , maka :
( S + T ) ( u ) = S (u) + T ( u) =Au + Bu = ( A + B ) u
Dan ( kT ) ( u ) = k ( T( u )) = k( Bu ) = ( kB )u
Sifat – sifat perkalian transformasi sangat menyerupai sifat – sifat perkalian matriks. Pembuktiannya biasanya lebih mudah pada transformasi linier sebab disini kita terbebas dari subskrip dan penjumlahan ganda .
S( TU ) (v) = S( TU (v) ) = S(T(U(v))) dan
(ST) U (v) = ST(U (v) ) = S(T(U(v)))
Dengan demikian S( TU ) = ( ST ) U
Jika S, T , dan U adalah operator linier pada V, maka :
S( TU ) = ( ST ) U
S ( T + U ) = ST + SU
( S + T )U = SU + TU
Jika dim ( V ) < ∞ , maka T dapat di balik jika dan hanya jika T Satu – satu Contoh : Misalkan D adalah operator pendefinisikan D (y) = y'= dy / dx Hitung D2 , ( D + 3 )( D – 5 ) , dan DxD Karena D2y= D ( Dy) = D (y')= y'' , maka kita liat bahwa D2 adalah operator turunan kedua . ( D + 3 )( D – 5 )y = ( D + 3 )( y' – 5 y) = D( y' – 5 y) + 3( y' – 5 y ) = y'' – 5 y' + 3 y'- 15 y = D2 y – 2Dy – 15y = ( D2 – 2D – 15 )y Jadi, (D + 3 )( D – 5) = D2 – 2D – 15 Operator DxD dapat dipandang sebagai hasil kali tiga operator linier : Pertama Pendiferensialan, kedua :perkalian dengan x, dan keTiga Pendiferensialan lagi . jadi : DxD(y) = D(x(y') =D(x y') = x y'' + y' = ( x D2 + D )(y) TAFSIRAN GEOMETRIK Ruang Vektor Rn mempunyai tempat sangat penting di dalam pengembangan Aljabar linier. Namun ruang vektor Rn adalah daerah hasil bagi sembarang ruang vektor berdimensi terhingga V, dibawah transformasi linier yang menghubungkan setiap vektor didalam V dengan matriks koordinatnya relatif terhadap suatu landasan tertentu. Karena inilah kita namakan ruang Rn RUANG KOORDINAT ( Coordinate spaces ). Karena pemetaan koordinat bersifat satu – satu dan ke atas (one – to – one and onto ), maka kita katakan ruang V dan Rn ISOMORFIK ( ISOMORPHIC ),yang berarti “ berstruktur sama ”. Transformasi matriks pada ruang koordinat Rn berperan lebih dari hanya sekedar teladan pembangkit motivasi untuk mempelajari transformasi linier. Untuk melihat ini perhatikan T, sembarang transformasi linier dari Rn ke Rm dan misalkan : S = { e1, e2, ……en} Adalah landasan baku bagi Rn . Untuk sembarang vektor u = [ u1….un ]T didalam Rn kita dapat menuliskan : u =u1, e1 + u2, e2 + ….un, , en dan dapat kemudian menghitung : T( u ) = u1T (e1) + u2T( e2) +…. + unT( en) Jika T adalah suatu transformasi linier dari Rn ke Rm maka T adalah perkalian dengan matriks : A = [T(e1) T(e2)……T(en) ] yang berukuran m x n Contoh : Untuk operator linier pada R3 yang didefinisikan oleh : T[█(x_1@x_2@x_3 )] = [ █(〖3x〗_1@2x_2@〖-x〗_1 )■(+@-@+)■(〖 4x〗_3@〖5x〗_3@〖2x〗_2 ) ] Kita memperoleh : T(e1) = T[█(1@0@0)] = [█(3@0@1)], T(e2) = T[█(0@2@2)] , T(e3) = T[█( 4@-5@ 0)] Sehingga matriks bakunya adalah : A = [T(e1) T(e2) T(en) ] = [■(3&0&4@0&2&-5@-1&2&0)] Pemantulan Jika T[█(x@y)] = [■(0&1@1&0) ][█(x@y)] = [█(y@x)] ,maka T(e1) = e2 dan T(e2) = e1 Karena garis yang menghubungkan kedua titik ( a, b ) dan ( b, a ) mempunyai kemiringan –1 , berarti garis ini tegak lurus terhadap garis y = x . jadi transformasi ini merupakan Pemantulan Terhadap garis y = x ( Reflection in the line y = x ) Jika T[█(x@y)] = [■(-1&0@0&1) ][█(x@y)] = [█(-x@y)] ,maka T(e1) = -e1 dan T(e2) = e2, Sehingga T adalah Pemantulan terhadap sumbu – y ( Reflection in the y- AXIS ) . begitu pula transformasi dengan matriks [■(1&0@0&-1 )] memprenstasikan pemantulan terhadap sumbu –x Pembesaran dan pengecilan Transformasi Matriks dengan matriks [ ■(k&0@0&1 ) ], k > 0 , memetakan e1 ke ke1 dan membiarkan e2 tetap. Jika k > 1, transformasiini merupakan pembesaran dalam arah –x dengan faktor sebesar k ( expansion in the x– direction by a factor of k ) k < 1, ini merupakan pengecilan dalam arah –x dengan faktor sebesar k ( contraction in the x– direction by a factor of k ). Begitupula matriks [ ■(1&0@0&k) ], dengan k > 0 mempresentasikan pembesaran atau pengecilan dalam arah –y.

Masih ada lagi satu jenis transformasi pada R2 yang patut disebutkan : proyeksi ke sumbu koordinat transformasi Px = [ ■(1&0@0&0) ] [█(x@y)] = [█(0@y)] , dinamakan Proyeksi ke Sumbu –y .
Masih banyak lagi jenis proyeksi yang lebih umum sifatnya selain yang disebutkan diata. Misalkan W1 adalah anak ruang bagi Rn dengan landasan { u1,…,uk }yang telah dilengkapi sehingga menjadi landasan { u1,…,uk, …., un } bagi ruang Rn . misalkan W2 adalah anakruang bagi Rn yang direntang oleh { { uk+1,…, un }. Sekarang perhatikan v = a1u1 +…+akuk+…. + anun, sebuah vektor tipikal di dalam Rn . transformasi P yang didefinisikan oleh :

P(v) = a1u1 +a2u2+…. + akuk,

Matriks dan Transformasi linier
Di dalam pasal terakhir kita mengetahui bahwa setiap transformasi linier antara dua ruang koordinat dapat di ucapkan sebagai perkalian dengan matriks tertentu yang sesuai. Ini sama artinya dengan mengatakan bahwa ruang vektor L( Rn,Rm ), yang terdiri dari semua transformasi linier dari Rn ke Rn, tidak lain adalah Rm x n, ruang vektor terdiri dari semua matriks m x n , dengan kata lain :
L( Rn,Rm ) = Rm x n,
Di dalam masalah ini kita akan mengetahui bahwa ada kaitan yang erat antara perkalian matriks dengan transformasi linier antara ruang vektor berdimensi tak hingga.
Misalkan T adalah suatu transformasi linier dari ruang vektor V ke ruang vektor W . jika B={v1,v2,….vn }adalah landasan bagi V. menunjukkan bahwa pemetaan koordinat [ ]B , yang memetakann vektor u di dalam V ke matriks koordinat [ u ]B di dalam Rn , adalah suatu pemetaan linier satu – satu . begitu pula, jika B' ={w1,w2,….wm } adalah landasan bagi W, maka pemetaan koordinat [ ]B, yang memetakann vektor w di dalam W ke [ w ]B di dalam Rm , adalah juga pemetaan linier satu – satu. Jadi cari matriks A berukuran m x n sedemikian rupa sehingga :

A[ u ]B = [T(u)]B' , untuk semua u didalam V


Teorema : Misalkan V ke W adalah ruang vektor berdimensi terhingga dan misalkan : B= { v1,…., vn } dan B '= { w1,…., Wm } masing masing adalah landasan bagi V dan W . jika T adalah sembarang transformasi linier dari V ke W , maka hanya ada satu matriks ; A = [ [T( v1 )]B' , [T( v2 )]B' , [T( vn )]B' ] berukuran m x n yang memenuhi [T(u)] B' = A[ u ]B , untuk setiap u di dalam V



Contoh: Misalkan D adalah Operator linier pada P3 yang di definisikan oleh :
D( a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ) = a1 + 2a2x + 3a3x2
Carila wakil matriks bagi D relatif terhadap landasan B= {1, x , x2,x3 } bagi ruang P3 dan kemudian gunakan matriks ini untuk menghitung D( 5 – 7x + 11 x2 +4 x3 )
Perhitungan langsung menghasilkan D( 1 ) = 0 , D( x )= 1 ,D( x2 )=2x dan D( x3 )= 3 x2 sehingga

[ D ] BB =[ [0]B [ 1 ]B [2x] B [3x2] B ] = [ ■(0@0@■(0@0))■( 1 @ 0@ ■(0@0))■(0@ 2@■( 0@ 0))■( 0@ 0@■( 3@ 0)) ]
Untuk menghitung D(p(x)) untuk p(x) = 5 – 7x + 11 x2 +4 x3, pertama – tama kita lihat bahwa [p(x)]B = [ 5 –7 11 4 ]T dan kemudian kita hitung
[D]B[p(x)] B =[ ■(0@0@■(0@0))■( 1 @ 0@ ■(0@0))■(0@ 2@■( 0@ 0))■( 0@ 0@■( 3@ 0)) ] [█( 5@-7@11@4 )] =[█(-7@22@12@0)] = [D (p(x))] B
Sehingga selanjutnya kita peroleh D(p(x))= -7 + 22x + 12 x2

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar